Кирилл Бельский, "Применения коник дважды касающиеся окружностей в олимпиадной планиметрии"

доклад на кружочке 28 октября 2026. Обсудим окружности, дважды касающиеся коник. На этот объект можно смотреть с двух точек зрения: метрической и проективной. С метрической точки зрения такие окружности по своим геометрическим свойствам очень похожи на фокусы коники. Более того, в некотором смысле фокусы можно считать частным случаем дважды касающихся окружностей. Проективный же взгляд подсказывает, что коника, дважды касающаяся окружности, не так уж сильно отличается от пары прямых, касающихся этой окружности. Поэтому иногда в геометрических утверждениях можно заменить пару прямых на конику, и утверждение останется верным. Примеры таких утверждений — лемма Саваямы и теорема Тебо https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2017-11-21-Savayama.pdf Их естественные обобщения мы и обсудим. Затем попробуем научиться применять полученные результаты к решению олимпиадных задач (например разберём задачу с прошлогодних майских сборов), а если успеем, то докажем с помощью этой техники теорему Фейербаха. Для понимания доклада полезно знать метрические (через фокусы) определение коник и некоторые совсем базовые свойства, а также не боятся проективной плоскости (то есть существования бесконечно удаленной прямой). и литература для самостоятельного изучения, упомянутая в докладе: 1. Ф.К.Нилов, Параболические многоугольники https://old.mccme.ru/free-books/matpros/articles/МП-12/mp-12-pages-19.pdf Тут можно прочитать доказательство основного факта (для парабол) и теоремы Нилова (оно немного отличается от рассказанного). 2. 100-123 В.Д.Конышев, О дважды касающихся кониках и теореме Дезарга об инволюции https://old.mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-35.pdf Тут есть доказательства обобщенных теорем Тебо и Саваямы.