2 семестр. Математическая статистика. Л. 3
Статистические выводы и проверка гипотез 1. Понятие гипотезы Статистическое исследование обычно проводится для проверки гипотез, которые являются следствием теоретических представлений. Гипотеза — это предположение о существовании явления, истинность или ложность которого можно установить только экспериментальным путем. Различают два вида гипотез: Научная гипотеза Предполагаемое решение научной проблемы. Обоснованное и логически выстроенное предположение. Обычно формулируется в виде теоретического утверждения. Статистическая гипотеза Обозначается буквой H. Представляет собой утверждение относительно неизвестного параметра генеральной совокупности. Проверяется с помощью статистических методов. 2. Связь научной и статистической гипотез Не каждая научная гипотеза требует статистической проверки. Не каждая статистическая гипотеза обладает научной значимостью. Статистическая проверка используется для подтверждения или опровержения научных предположений. Пример Исследователь предполагает наличие связи между тревожностью и творчеством дошкольников. Для проверки этого предположения проводится исследование и статистический анализ полученных данных. 3. Нулевая и альтернативная гипотезы Нулевая гипотеза (H₀) Основная гипотеза, которая предполагает отсутствие эффекта, различий или связи. Пример: ρ=0 Это означает, что корреляция между признаками в генеральной совокупности отсутствует. Альтернативная гипотеза (H₁) Предполагает наличие эффекта, различий или связи. Пример: ρ =0 То есть корреляция между признаками существует. 4. Проверка статистической гипотезы Проверка гипотезы — это процедура принятия решения о том, следует ли принять или отвергнуть статистическую гипотезу. Важно помнить: Решение никогда не принимается со 100%-ной уверенностью. Всегда существует риск ошибки. Статистические методы позволяют оценить этот риск. 5. Четыре этапа проверки гипотез Этап 1. Формулировка гипотезы Формулируется нулевая гипотеза H₀, которая будет проверяться. Этап 2. Определение выборочного распределения Выбирается статистический критерий и определяется его распределение при условии истинности H₀. Этап 3. Выбор уровня значимости Задается допустимая вероятность ошибки первого рода — уровень значимости α. Наиболее распространенные значения: α = 0,05 α = 0,01 α = 0,001 Этап 4. Принятие решения По результатам выборки вычисляется статистика критерия и принимается решение: принять H₀; отвергнуть H₀ в пользу H₁. 6. Уровень значимости и критическая область Уровень значимости (α) Вероятность совершить ошибку первого рода. Критическая область Область значений статистики, при попадании в которую нулевая гипотеза отвергается. Ее также называют областью отбрасывания. При двусторонней проверке и α = 0,05 критическая область делится на две части по 0,025 с каждого края распределения. 7. Ошибки при проверке гипотез Ошибка первого рода (α) Возникает, когда истинная нулевая гипотеза отвергается. Особенности: вероятность ошибки задается исследователем заранее; обозначается α; обычно выбирается небольшой. Ошибка второго рода (β) Возникает, когда принимается H₀, хотя на самом деле верна H₁. Обозначается буквой β. 8. Итог принятия решения После анализа данных возможны два варианта: Принять H₀ и отклонить H₁. Принять H₁ и отклонить H₀. При этом абсолютной уверенности в правильности решения не существует, поскольку исследователь всегда работает с выборкой, а не со всей генеральной совокупностью. Вывод Проверка статистических гипотез является основным инструментом статистического вывода. Она позволяет на основе выборочных данных делать обоснованные выводы о генеральной совокупности. В процессе проверки формулируются нулевая и альтернативная гипотезы, задается уровень значимости, определяется критическая область и принимается решение. При этом всегда существует вероятность ошибок первого и второго рода, поэтому статистические выводы носят вероятностный характер.
Статистические выводы и проверка гипотез 1. Понятие гипотезы Статистическое исследование обычно проводится для проверки гипотез, которые являются следствием теоретических представлений. Гипотеза — это предположение о существовании явления, истинность или ложность которого можно установить только экспериментальным путем. Различают два вида гипотез: Научная гипотеза Предполагаемое решение научной проблемы. Обоснованное и логически выстроенное предположение. Обычно формулируется в виде теоретического утверждения. Статистическая гипотеза Обозначается буквой H. Представляет собой утверждение относительно неизвестного параметра генеральной совокупности. Проверяется с помощью статистических методов. 2. Связь научной и статистической гипотез Не каждая научная гипотеза требует статистической проверки. Не каждая статистическая гипотеза обладает научной значимостью. Статистическая проверка используется для подтверждения или опровержения научных предположений. Пример Исследователь предполагает наличие связи между тревожностью и творчеством дошкольников. Для проверки этого предположения проводится исследование и статистический анализ полученных данных. 3. Нулевая и альтернативная гипотезы Нулевая гипотеза (H₀) Основная гипотеза, которая предполагает отсутствие эффекта, различий или связи. Пример: ρ=0 Это означает, что корреляция между признаками в генеральной совокупности отсутствует. Альтернативная гипотеза (H₁) Предполагает наличие эффекта, различий или связи. Пример: ρ =0 То есть корреляция между признаками существует. 4. Проверка статистической гипотезы Проверка гипотезы — это процедура принятия решения о том, следует ли принять или отвергнуть статистическую гипотезу. Важно помнить: Решение никогда не принимается со 100%-ной уверенностью. Всегда существует риск ошибки. Статистические методы позволяют оценить этот риск. 5. Четыре этапа проверки гипотез Этап 1. Формулировка гипотезы Формулируется нулевая гипотеза H₀, которая будет проверяться. Этап 2. Определение выборочного распределения Выбирается статистический критерий и определяется его распределение при условии истинности H₀. Этап 3. Выбор уровня значимости Задается допустимая вероятность ошибки первого рода — уровень значимости α. Наиболее распространенные значения: α = 0,05 α = 0,01 α = 0,001 Этап 4. Принятие решения По результатам выборки вычисляется статистика критерия и принимается решение: принять H₀; отвергнуть H₀ в пользу H₁. 6. Уровень значимости и критическая область Уровень значимости (α) Вероятность совершить ошибку первого рода. Критическая область Область значений статистики, при попадании в которую нулевая гипотеза отвергается. Ее также называют областью отбрасывания. При двусторонней проверке и α = 0,05 критическая область делится на две части по 0,025 с каждого края распределения. 7. Ошибки при проверке гипотез Ошибка первого рода (α) Возникает, когда истинная нулевая гипотеза отвергается. Особенности: вероятность ошибки задается исследователем заранее; обозначается α; обычно выбирается небольшой. Ошибка второго рода (β) Возникает, когда принимается H₀, хотя на самом деле верна H₁. Обозначается буквой β. 8. Итог принятия решения После анализа данных возможны два варианта: Принять H₀ и отклонить H₁. Принять H₁ и отклонить H₀. При этом абсолютной уверенности в правильности решения не существует, поскольку исследователь всегда работает с выборкой, а не со всей генеральной совокупностью. Вывод Проверка статистических гипотез является основным инструментом статистического вывода. Она позволяет на основе выборочных данных делать обоснованные выводы о генеральной совокупности. В процессе проверки формулируются нулевая и альтернативная гипотезы, задается уровень значимости, определяется критическая область и принимается решение. При этом всегда существует вероятность ошибок первого и второго рода, поэтому статистические выводы носят вероятностный характер.